关于树上的查询修改问题，如果采用DFS的方式处理，时间效率会上升到 $O(n^2)$

可以将树转化为多个链，然后映射到线段树上维护，可以降低时间复杂度到 $O(n\log n)$

树链剖分就是将树切分为多个链，然后将这些链上的节点紧密地映射到线段树上

struct node{
    int l,r,sum,add;
};
node tr[4*N];
int n,m,r,mod;
int a[N],cor[N],idx;
vector<int> e[N];
int fa[N],son[N],top[N];
int sz[N],dep[N],id[N];

首先是在剖分树链前的预处理：

void dfs1(int x,int p){
    dep=dep[p]+1;//处理树上每个节点的深度
    sz=1;//初始化以x节点为根的子树的大小
    fa=p;//记录x节点的父亲
    for (auto v:e){
        if (v==p) continue;
        dfs1(v,x);
        sz+=sz[v];//计算子树
        if (sz[son]<sz[v]) son=v;//记录x节点的重儿子
    }
}

然后进行树链剖分，按照重链将树上节点编号并映射值

这里需要注意的是，较深的节点在线段树上的编号就越大

void dfs2(int x,int t){
    id=++idx;//对x节点编号并映射
    cor[idx]=a;//映射新值
    top=t;//记录x所在重链的顶点
    if (!son) return;
    dfs2(son,t);
    for (auto v:e){
        if (v==fa||v==son) continue;
        dfs2(v,v);//对轻儿子新开一条重链
    }
}

按照重链的顺序映射到线段树上后，需要完成这些操作的实现

  • 1 x y z，表示将树从 $x$ 到 $y$ 结点最短路径上所有节点的值都加上 $z$
  • 2 x y，表示求树从 $x$ 到 $y$ 结点最短路径上所有节点的值之和
  • 3 x z，表示将以 $x$ 为根节点的子树内所有节点值都加上 $z$
  • 4 x 表示求以 $x$ 为根节点的子树内所有节点值之和

对路径操作：

void update_path(int x,int y,int k){
    while (top!=top[y]){
        if (dep[top]<dep[top[y]]) swap(x,y);
        update(id[top],id,k,1);
        x=fa[top];
    }
    if (dep<dep[y]) swap(x,y);
    update(id[y],id,k,1);
}
int query_path(int x,int y){
    int res=0;
    while (top!=top[y]){
        if (dep[top]<dep[top[y]]) swap(x,y);
        res=(res+query(id[top],id,1))%mod;
        x=fa[top];
    }
    if (dep>dep[y]) swap(x,y);
    res=(res+query(id,id[y],1))%mod;
    return res;
}

每次选择深度较深的节点向上跳，直到处于同一条重链上

如果当前的两个节点不在一条重链上，那就处理较深节点到他所在重链的顶点之间的路径

当最后两个节点处在同一条重链上时，处理这两个节点之间的路径

因为树上的节点都通过重链映射到线段树上，所以都可以通过线段树区间查询的操作处理贡献

对子树操作：

void update_tree(int x,int k){
    update(id,id+sz-1,k,1);
}
int query_tree(int x){
    return query(id,id+sz-1,1);
}

这里利用了一个性质，节点 $x$ 的子树大小为 $sz_x$ 由于映射的时候是按照 DFN 序列映射的，所以以节点 $x$ 为根节点的子树在线段树上的编号也是连续映射的，那么这个子树的区间为 $[id_x,id_x+sz_x-1]$

以洛谷P3384为例：

#include<bits/stdc++.h>
#define cintie ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
#define Trd int T;cin>>T;while (T--)solve();
#define LLinf 9e18
#define Iinf 2e9
#define LL long long
#define ULL unsigned long long 
#define Lc p<<1
#define Rc p<<1|1
#define lc(x) tr.ch[0]
#define rc(x) tr.ch[1]

using namespace std;

const int N=1e5+10;

struct node{
    int l,r,sum,add;
};

node tr[4*N];
int n,m,r,mod;
int a[N],cor[N],idx;
vector<int> e[N];
int fa[N],son[N],top[N];
int sz[N],dep[N],id[N];

void dfs1(int x,int p){
    dep=dep[p]+1;
    sz=1;
    fa=p;
    for (auto v:e){
        if (v==p) continue;
        dfs1(v,x);
        sz+=sz[v];
        if (sz[son]<sz[v]) son=v;
    }
}

void dfs2(int x,int t){
    id=++idx;
    cor[idx]=a;
    top=t;
    if (!son) return;
    dfs2(son,t);
    for (auto v:e){
        if (v==fa||v==son) continue;
        dfs2(v,v);
    }
}

void build(int l,int r,int p){
    tr[p]={l,r,cor[l]%mod,0};
    if (l==r) return;
    int mid=l+r>>1;
    build(l,mid,Lc);
    build(mid+1,r,Rc);
    tr[p].sum=(tr[Lc].sum+tr[Rc].sum)%mod;
}

void pushdown(int p){
    if (tr[p].add){
        tr[Lc].sum=(tr[Lc].sum+tr[p].add*(tr[Lc].r-tr[Lc].l+1)%mod)%mod;
        tr[Rc].sum=(tr[Rc].sum+tr[p].add*(tr[Rc].r-tr[Rc].l+1)%mod)%mod;
        tr[Lc].add=(tr[Lc].add+tr[p].add)%mod;
        tr[Rc].add=(tr[Rc].add+tr[p].add)%mod;
        tr[p].add=0;
    }
}

void update(int x,int y,int k,int p){
    if (x<=tr[p].l&&y>=tr[p].r){
        tr[p].sum=(tr[p].sum+k*(tr[p].r-tr[p].l+1)%mod)%mod;
        tr[p].add=(tr[p].add+k)%mod;
        return;
    }
    pushdown(p);
    int mid=tr[p].l+tr[p].r>>1;
    if (x<=mid) update(x,y,k,Lc);
    if (y>mid) update(x,y,k,Rc);
    tr[p].sum=(tr[Lc].sum+tr[Rc].sum)%mod;
}

void update_path(int x,int y,int k){
    while (top!=top[y]){
        if (dep[top]<dep[top[y]]) swap(x,y);
        update(id[top],id,k,1);
        x=fa[top];
    }
    if (dep>dep[y]) swap(x,y);
    update(id,id[y],k,1);
}

void update_tree(int x,int k){
    update(id,id+sz-1,k,1);
}

int query(int x,int y,int p){
    if (x<=tr[p].l&&y>=tr[p].r)
        return tr[p].sum;
    pushdown(p);
    int res=0;
    int mid=tr[p].l+tr[p].r>>1;
    if (x<=mid) res=(res+query(x,y,Lc))%mod;
    if (y>mid) res=(res+query(x,y,Rc))%mod;
    return res;
}

int query_path(int x,int y){
    int res=0;
    while (top!=top[y]){
        if (dep[top]<dep[top[y]]) swap(x,y);
        res=(res+query(id[top],id,1))%mod;
        x=fa[top];
    }
    if (dep>dep[y]) swap(x,y);
    res=(res+query(id,id[y],1))%mod;
    return res;
}

int query_tree(int x){
    return query(id,id+sz-1,1);
}

void solve(){
    cin>>n>>m>>r>>mod;
    for (int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    for (int i=1;i<n;i++){
        int u,v;
        cin>>u>>v;
        e[u].push_back(v);
        e[v].push_back(u);
    }
    dfs1(r,0);
    dfs2(r,r);
    build(1,n,1);
    while (m--){
        int op,x,y,z;
        cin>>op;
        if (op==1){
            cin>>x>>y>>z;
            update_path(x,y,z);
        }
        if (op==2){
            cin>>x>>y;
            cout<<query_path(x,y)<<endl;
        }
        if (op==3){
            cin>>x>>z;
            update_tree(x,z);
        }
        if (op==4){
            cin>>x;
            cout<<query_tree(x)<<endl;
        }
    }
}

int main()
{
    cintie;
    solve();
    
    
    return 0;
}